Binom Açılımı (n ∈ N), (x + y)n ifadesinin genel terim formülüyle yazılır:
Tk+1 = C(n, k)·xn-k·yk, burada C(n, k) = n! / (k!·(n-k)!) Pascal üçgeni ile elde edilen binom katsayılarıdır.
Pascal üçgeni, her satırın başında 1 ve iç terimlerin yan yana bulunan iki üst terimin toplamı şeklinde gelişir. Örneğin 4. satır: 1 4 6 4 1. Bu, (x + y)4 açılımındaki katsayıları verir.
Örnek 1: (2x - 3)5 açılımında x³ katsayısı nedir?
Genel terim: Tk+1 = C(5, k)·(2x)5-k·(-3)k.
x³ için 5-k = 3 ⇒ k = 2.
Katsayı: C(5,2)·2³·(-3)² = 10·8·9 = 720.
Örnek 2: (x² + 1/x)6 açılımındaki x’den bağımsız terim nedir?
Genel terim: Tk+1 = C(6, k)·(x²)6-k·(1/x)k = C(6, k)·x12-3k.
x⁰ için 12-3k = 0 ⇒ k = 4.
Terim: C(6,4) = 15.
Örnek 3: (3x + 2)8 açılımının orta terimi nedir?
Çift üs olduğu için iki orta terim vardır: k = 3 ve k = 4.
1. Orta terim: T4 = C(8,3)·(3x)⁵·2³ = 56·243·8·x⁵ = 108864x⁵.
2. Orta terim: T5 = C(8,4)·(3x)⁴·2⁴ = 70·81·16·x⁴ = 90720x⁴.
Test taktiği: OSYM genellikle katsayı veya belirli terim sorar. Genel terimde istenen üs eşitliğini sağlayan k değerini bulun, ardından katsayıya yerleştirin.