matematikte alan, hacim ve toplam gibi nicelikleri hesaplamak için kullanılan temel bir kavramdır.
Belirsiz integral bir fonksiyonun türevi alındığında elde edilen başlangıç fonksiyonunu bulmayı sağlar: ∫ f(x) dx = F(x) + C, burada F'(x) = f(x) ve C tamlama sabitidir.
Belirli integral ise a ve b arasındaki bir aralıktaki bir fonksiyonun altında kalan alanı verir: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a).

Temel integral formülleri:
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C (n ≠ -1)
- ∫ eˣ dx = eˣ + C
- ∫ sin x dx = -cos x + C
- ∫ cos x dx = sin x + C

Yerine koyma yöntemi karmaşık integralleri basitleştirmek için kullanılır: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x) alınarak). Örnek: ∫ x·eˣ² dx için u = x² alınırsa du = 2x dx ve integral ½·∫ eᵘ du = ½·eᵘ + C = ½·eˣ² + C olur.

İki eğri arasındaki alan hesaplanırken öncelikle eğrilerin kesişim noktaları bulunur: f(x) = g(x) denklemini çözerek x₁ ve x₂ değerleri elde edilir. Daha sonra a ve b olarak bu noktalar alınarak ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)| dx hesaplanır. Sınav taktiği: Üstteki fonksiyonu tanımlayın ve mutlak değeri ortadan kaldırın.

Alan hesabı adımları:
1. Eğrileri çizin ve kesişim noktalarını bulun.
2. Üst ve alt fonksiyonları belirleyin.
3. Belirli integral formülünü uygulayın: ∫ₐᵇ (Üst - Alt) dx.
4. İntegrali çözerek alanı bulun.

Örnek: y = x² ve y = x + 2 eğrileri arasındaki alanı bulun.
- Kesişim noktaları: x² = x + 2 → x² - x - 2 = 0 → (x-2)(x+1) = 0 → x₁=-1, x₂=2
- Üst: y = x + 2, Alt: y = x²
- Alan: ∫₋₁² [(x+2) - x²] dx = [½x² + 2x - x³/3]₋₁² = (4 + 4 - 8/3) - (½ - 2 + 1/3) = 9/2